यदि int {frac{{log left( {t + sqrt {1 + {t^2} | vedclass

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Question

(D) माना $I = \int \frac{\log (t+\sqrt{1+t^{2}})}{\sqrt{1+t^{2}}} dt$. $u = \log (t+\sqrt{1+t^{2}})$ प्रतिस्थापित करने पर। अतः,$du = \frac{1}{t+\sqrt{

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$\log \left( {2 + \sqrt 5 } \right)$

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(D) माना $I = \int \frac{\log (t+\sqrt{1+t^{2}})}{\sqrt{1+t^{2}}} dt$. $u = \log (t+\sqrt{1+t^{2}})$ प्रतिस्थापित करने पर। अतः,$du = \frac{1}{t+\sqrt{1+t^{2}}} \cdot \left( 1 + \frac{2t}{2\sqrt{1+t^{2}}} \right) dt = \frac{1}{t+\sqrt{1+t^{2}}} \cdot \left( \frac{\sqrt{1+t^{2}}+t}{\sqrt{1+t^{2}}} \right) dt = \frac{1}{\sqrt{1+t^{2}}} dt$. इसलिए,$I = \int u du = \frac{u^{2}}{2} + C$. दिए गए समीकरण $I = \frac{1}{2}[g(t)]^{2} + C$ के साथ तुलना करने पर,हमें $g(t) = u = \log (t+\sqrt{1+t^{2}})$ प्राप्त होता है। अब,$t = 2$ रखने पर: $g(2) = \log (2+\sqrt{1+2^{2}}) = \log (2+\sqrt{5})$.

यदि $\int {\frac{{\log \left( {t + \sqrt {1 + {t^2}} } \right)}}{{\sqrt {1 + {t^2}} }}dt = \frac{1}{2}{{\left( {g\left( t \right)} \right)}^2} + C} $,जहाँ $C$ एक स्थिरांक है,तो $g(2)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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